100以內究竟有多少個偶數？ - 現代教育研究社

100以內到底有多少個偶數呢？單看這問題會容易模不著頭腦。

香港中文大學課程與教學學系黃毅英教授借這個題目作引子，闡述數學名詞的定義和概念問題，他更舉出教學上的實例 ... Togglenavigation 香港HongKong 香港HongKong 澳門Macau 香港HongKong 澳門Macau 登入Login 登入Login 登入Login 忘記密碼Forgotpassword? 首次登記 取消Cancel 活動情報Events 小學Primary 中學Secondary 幼稚園Kindergarten 學與教資源中心L&TResources 小學Primary 中學Secondary 幼稚園Kindergarten 現代教育通訊MERSBulletin 產品目錄表Catalogue 參考資料ReferenceLinks 官方機構（本地）GovernmentOrganizations(Local) 官方機構（澳門）GovernmentOrganizations(Macau) 官方機構（海外）GovernmentOrganizations(Overseas) 教育機構EducationalOrganizations 文化藝術Culture&Arts 教育文摘EducationalDigest 關於我們AboutUs 公司簡介CompanyProfile 合作伙伴Partners 客戶服務CustomerServices 聯絡我們ContactUs 營業員資料SalesTeamInfo 預約營業員AppointmentRequest 書局資料BookstoreInfo 首頁 學與教資源中心 現代教育通訊 學與教資源中心L&TResources 現代教育通訊MERSBulletin 現代教育通訊68期 前期教訊： 現代教育通訊115期現代教育通訊114期現代教育通訊113期現代教育通訊112期現代教育通訊110期現代教育通訊111期 第109期2015年12月號 第108期2015年09月號 第107期2015年04月號 第106期2014年12月號 第105期2014年09月號 第104期2014年04月號 第103期2013年12月號 第102期2013年09月號 第101期2013年04月號 第100期2012年12月號 第99期2012年09月號 第98期2012年04月號 第96+97期合訂本2011年12月號 第95期2011年04月號 第94期2010年12月號 第93期2010年09月號 第92期2010年04月號 第91期2009年12月號 第90期2009年09月號 第89期2009年03月號 第87+88期合訂本2008年12月號 第86期2008年06月號 第85期2008年03月號 第84期2007年12月號 第83期2007年09月號 第82期2007年06月號 第81期2007年03月號 第80期2006年12月號 第79期2006年09月號 第78期2006年06月號 第77期2006年03月號 第76期2006年01月號 第75期2005年09月號 第74期2005年06月號 第73期2005年04月號 第72期2005年01月號 第71期2004年10月號 第70期2004年06月號 第69期2004年03月號 第68期2003年12月號 第67期2003年09月號 第66期2003年06月號 第65期2003年03月號 第64期2002年12月號 第63期2002年09月號 第62期2002年06月號 第61期2002年03月號 第60期2001年12月號 第59期2001年09月號 第58期2001年06月號 第57期2001年03月號 第56期2000年12月號 第55期2000年09月號 第54期2000年06月號 第53期2000年03月號 第52期1999年12月號 第51期1999年09月號 第50期1999年06月號 第49期1999年03月號 資訊年代的閱讀：100以內究竟有多少個偶數？ 上一篇 /下一篇 100以內究竟有多少個偶數？ ◎黃毅英教授 香港中文大學課程及教學學系 100以內到底有多少個偶數呢？單看這問題會容易模不著頭腦。

香港中文大學課程與教學學系黃毅英教授借這個題目作引子，闡述數學名詞的定義和概念問題，他更舉出教學上的實例，叮囑我們該養成事事從學生學習角度考慮問題的習慣。

這可謂一個永不止息的老問題（見黃毅英，1996a,b），每隔一段時間就會收到這一類的查詢。

事實上，筆者希望一次過的解決這類問題。

但如果讀者期望本文給出一次過的所謂「答案」，顯然會失望而歸。

所謂「一次過解決問題」並不是說羅列「100以內」等等用語的確切定義，而是希望透過以下的討論，讓大家注意到問題之所在。

事情往往牽涉及校內的糾紛：一些學生把100也算在內，一些學生不算；甚至最後「揭露」不同老師在課堂上有不同說法，於是「錯誤」的答案是否應該扣分在校內惹起軒然大波，由此希望訴諸權威，無論找數學家也好、數學詞典也好、教統局官員也好，希望找出一個確切的數學定義。

先撇開扣分不扣分不談，首先要注意的是，數學上的名詞往往是代表一個概念。

在學習而言，概念比名詞重要得多。

而在我們一般沿用的名詞或用語中，不是每一個都有確切之定義的。

比方： 有確切定義的：例如質數，由定義出發，所以「1」不是質數。

有確切定義，但不是絕對統一：如「自然數」有確切定義，但亦因時代（或不同書籍）而異。

有時自然數（集）包括0，有時不包括。

在特定題目中寫清楚就不會混淆了。

為了簡便，省略了細節的，大家「會意」了：例如在小學階段，「因數」指「正因數」（故12只有6個因數而非12個） 約定俗成：3a=3×a,ab=a×b；a×3沒有錯，只是習慣上不會這樣寫，3×4 就不會寫成34或3‧4。

刻意淡化分野（尤其在高年班）：例如長方形「長」與「闊」的分別。

因為認識到與 同構（同理：哪條是梯形的「上底」？）；加數、被加數；乘數、被乘數等（因為認識了加法與乘法的交換性質）。

沒有確切定義的：例如「化至最簡」（究竟1.5、11/2、3/2、哪個較簡、 哪個較簡？） 我們在下面再談為何一些在數學課中常用的用語竟然可以沒有確切的定義，返回「100以內究竟有多少個偶數？」這類問題，又或「每個蘋果3元，2個蘋果可否答3×2元、2×3元、(2×3)元……」等等（見黃毅英，1996a），以考試論考試，無論你的規定多合理或多「古怪」（例如答案必須加「雙底線」 ＝＝＝、加#、加「證畢」……，必須隔行作答之類），我們首先要問學生事前清楚知道「遊戲規則」，其次在計分方面有否「喧賓奪主」，把不是主要的錯誤扣去很多分。

更重要的是，我們要考慮，我們其實是想考核學生的什麼呢？ 再以「100以內究竟有多少個偶數？」一題為例，假若我們事先已講得清清楚楚，「n（當n為正整數）以內」是指「{k N:1kn}」，那麼學生答了50（把100這個數也算在內），可謂「死有餘辜」，但我們可以回頭問：這樣的擬題究竟是想考核學生是否懂得「數數」（兩個一數）呢、還是能牢記定義呢？哪個更重要呢？ 筆者上面刻意引出「1k＜n」這個寫法就是想進一步讓大家注意到在數學課所用的名詞不是每一個都是數學名詞。

例如「最簡」便不是了。

日常用語往往是含糊的，例如「咖啡或茶」並不表示你可同時要咖啡和茶。

於是符號邏輯便分別出「可兼析取」(inclusive disjunction)和「不可兼析取」(exclusivedisjunction)來。

日常用語與數學用語是有差別的。

數學課無法（亦不必）避免動用日常用語。

例如「……以內」也許只是日常用語。

所以在課堂的用語是另一個比考題用語複雜得多的問題。

一方面，無可避免地，課堂上不可能純粹用數學用語去溝通，甚至必須用日常用語去闡釋數學名詞；在另一方面，用語愈數學化、愈精確，並不代表學生的接收及概念形成會更好！ 返回擬題這個相對簡單的處境，假若我們擬題時因用日常用語讓學生受到誤會，給出不是我們心中的答案，似乎罪不在學生吧？ 於是，若我們擬題時能修飾一下，問題就清楚得多了： 「……把答案化成帶分數。

」 「……把答案的分母有理化。

」 「100及以內有多少個偶數？」或者乾脆 「1，2，……100這些數字中有多少個偶數？」 以上筆者所談擬題要清晰等，多多少少仍反映著一個傳統的考試取態：用考題去「考」學生，這意味著將「好」的學生與「差」的學生分野開來，也意味著設立一些關卡，看他們是否能跨過。

當然合理及精心設計的這種考核也可能變成學生學習的某些原動力，但姑且不談「促進學習的評估」(assessment 筆者希望進一步指出，以上只是其中一例。

希望有一本「經常混淆用語詞典」就能解決所有問題是不切實際的期望（因為無法窮盡！）。

我們反而該養成事事從學生學習角度考慮問題的習慣，從我們究竟希望診斷學生學習的哪些部分作考慮。

具體「應為不應為」的細節，可謂不解自明。

也許這就叫做教師「元認知」(meta-cognition)吧！ 註： Ⅰ本文得陳葉祥、鄧幹明、黃家鳴等幾位朋友的寶貴意見，於此鳴謝。

Ⅱ還有些是簡寫，但一般是統一的，如sin(πc)一般省略作sin(π)；但亦有不統一的，如log(a)初中表，到高等數學時表。

Ⅲ英文叫"understood"。

Ⅳ英文叫“inclusive”。

Ⅴ當然是指自然數─這也是一種「會意」，因為負數並非小學數學的範圍。

參考資料 ‧黃毅英(1996a)。

△ABC △BCA?《數學教育》2期，22-24。

‧黃毅英(1996b)。

「名數除名數等於不名數」。

《數學教育》3期，72。

本期教訊目錄 上一篇 /下一篇