曆法中的數學：用邊分數製作曆法

1 分數

我們來看一個分數的例子：

如果想讓帶分數中的分子變成1的形式，可以表示為：

2 恆星日與太陽日

我們把一個晝夜規定為1天（太陽日），是地球上某個地點太陽光線射入的角度兩次相同的時間間隔，稱為太陽日。

1天人為規定劃分為24小時，1小時60分鐘，1分鐘60秒。

我們把地球自轉360°的時間稱為1恆星日。

實際的1天（24個小時）的時間應該是地球自轉一圈多一點，因為地球在自轉的同時，地球公轉在公轉軌道上移動了360/365°，需要再轉動這個角度（地球自轉和公轉都是自西向東）則會是相同的太陽光線射入角度，如下圖：

如上圖，E1P與S點在同一條直線上，太陽自轉的同時公轉到E2點，PE2平行於PE1時，地球完成了自轉一周，是為一個恆星日，地球需要繼續自轉和公轉，當E2PS三點在一條直線上時，就是一太陽日。

太陽自轉一周為一個恆星日，只需23小時56分鐘4秒（0.9972685），再經過3分56秒，轉動一個360/365°的角度，地日中心連線再次與周期開始的經線重合，經歷一日的時間周期。

所以太陽日是一個晝夜 = 恆星日（地球自轉周期）+地球一天的公轉角度（0.986°）＝360.986°。

地球繞太陽一圈需要365天5小時48分46秒（合365.24219天（太陽日）），我們稱之為一年。

地球繞太陽1圈，地球自轉次數：

365.24219*360.986/360=366.24255

365.24219/0.9972685=366.24258

在長期的連續觀測中發現，一年中太陽日的長短並不一樣。

由於以下兩個原因，太陽日在一年當中的長度會每天不停地改變。

首先，地球的軌道是一個橢圓而不是正圓，所以當地球接近太陽時速度會加快，到達近日點時的運動速度最快；遠離時又會減慢，到達遠日點時的速度最慢（參考開普勒行星運動定律）。

其次，因為地球自轉軸的傾斜角度，使得太陽在黃道上運行的大圓對地球的天球赤道是傾斜的，當太陽在兩個分點時，穿越赤道時會有一個角度的，所以投影在赤道上的運行速度小於平均速度；當太陽在至點時，他的運動方向是平行於赤道的，所以投影的運行速度高於平均的速度（參考回歸年）。

因此，太陽日在3月（26-27日）和9月（12-13日）是比在6月（18-19日）或12月（20-21日）短的。

這些日期的長短變化是在分點、至點、遠日點、和近日點之間逐漸變化的。

太陽日因為長短在一年在不斷變化，不適合我們計時的需要，為了得到一個均勻適用的日常時間，提出了平太陽日的概念。

假想有一個均勻速度的天體在黃道上運動，這個假想的天體被稱為「平太陽」。

把這個平太陽連續兩次通過同一子午線的時間稱之為平太陽日（地球運轉的總時間加以平均所得的「日」），把平太陽日86400分之一為一秒，就比原來精確多了。

3 儒略曆、格里曆

地球繞太陽一圈需要365天5小時48分46秒（合365.24219天（太陽日）），我們稱之為一年（四季更替）。

為了方便，我們制訂的曆法中會人為規定一年的天數為整數365年，再通過一定的規律在某一年添加1天去平衡曆法的時間與地球實際運轉的時間。

羅馬共和國獨裁官儒略·愷撒（即蓋烏斯·尤里烏斯·凱撒）採納數學家兼天文學家索西琴尼的計算後，於公元前45年1月1日起執行取代舊羅馬曆法的儒略曆（Julian calendar）。

儒略曆中，一年被劃分為12個月，大小月交替；四年一閏，平年365日，閏年366日為在當年二月底增加一閏日，年平均長度為365.25日。

0.24219=24219/100000=1/4.12899

這樣，人為規定每4年閏1天後，每年的誤差是：0.25-0.24219=0.00781

過了1600年後，人為制訂的曆法與地球繞太陽的實際運轉相差了12.496天。

0.00781*1600=12.496

1582年3月1日，格里高利頒發了改曆命令，內容是：

一、1582年10月4日後的一天是10月15日，而不是10月5日，但星期序號仍然連續計算：10月4日是星期四，第二天10月15日是星期五。

這樣，就把從公元325年以來積累的老帳一筆勾銷了。

二、為避免以後再發生春分飄離的現象，改閏年方法為： 凡公元年數能被4整除的是閏年，但當公元年數後邊是帶兩個「0」的「世紀年」時，必須能被400整除的年才是閏年。

格里高利曆的歷年平均長度為365日5時49分12秒，比回歸年長26秒：

0.24219-0.24250 = -0.00031

雖然照此計算，過3000年左右仍存在1天的誤差，但這樣的精確度已經相當了不起了。

以儒略曆為基礎改善而來的格里曆，即沿用至今的公曆。

4 傑拉勒歷和伊朗歷

歐麥爾·赫亞姆於1074年主持修訂了古波斯歷，編制了《傑拉勒歷表》，其精確度超過格雷高里歷（但格里高利曆計算閏年的方法更簡單）。

確定33年8閏，誤差保持在每年相差0.00023天

伊朗歷的置閏方式是每128年置入31個閏年。

下圖就是用連分數置閏的方法：

5 朔望月與恆星月

朔望月是指月朔到月朔，或月望到月望，或新月到新月之間周期的長度，即平均日數為29天12小時44分2.86秒。

這一周期是月亮繞地球旋轉；地球繞太陽旋轉，三者之間相對運動而形成的，它不是月亮繞地球旋轉一周的實際時間。

月球的和自轉和公轉周期都是27天7小時43分11.559秒（27.32166天，同步自轉），稱為恆星月。

如果不考慮地球圍繞太陽的轉動，單純計算月亮繞地球旋轉一周的時間，那只是27天7小時43分11秒。

那麼，為什麼一朔望月時間會是29天多呢？現在，以月的合朔日為起點加以說明：我們知道，月亮的合朔是太陽、月亮、地球三者正處於一條直線上，月亮居於太陽和地球中間背向地球，人們絲毫看不見月亮的時候。

這時假設地球停止繞日公轉，那麼，月亮繞地球一周後再回到相對地球的這一位置時，就是27天7小時43分11秒。

這一長度叫做「恆星月」。

但是，在月亮圍繞地球轉動時，地球也在圍繞太陽轉動，當月亮行走27天多，又回到上月合朔時相對地球的那一位置時，月亮已不再居於太陽與地球的直線之間了，因地球的向前運動已使原來相對月亮、太陽的位置向前移動，脫離開太陽與地球的連線，形成了一段距離。

月亮只能繼續向前運動，走過這段距離，再達到太陽與地球新的連線的時候，才能再形成新的合朔，這段距離需要1～2日的時間，也就是所謂的一、二隱日。

如上圖，在A點時，EPS三點成一線，地月系統圍繞太陽旋轉到B點時，B點的EP與A點的EP平行，即月球旋轉了一周，是為一個恆星月。

需要繼續旋轉到C點，當EPS再次三點成一線時，是為一個朔月。

那麼，為什麼把月亮繞地球轉動的實際周期稱為「恆星月」呢？這是由於在月亮繞地球轉動過程中，途徑28組恆星星座，作為月亮運行位置的記錄，每組恆星各有名目，通稱28宿（宮）。

月亮每天運行一宿，近28天正好實際繞行地球一周，但如上所述，這時新月還不能出現，還要走完因地球公轉而脫離太陽與地球連線的距離，因而，月亮有28顯日，其後，還有1～2日的隱日。

6 陰陽曆

公曆是以地球自轉相對於太陽的位置所確定的「日」做為曆法基礎的，在此基礎上去確定年、月。

而純粹的陰曆則是以月球圍繞地球的公轉先確定月，則確定一年的天數。

公曆確定「日」、純粹的陰曆確定「朔望月」的概念後，然後需要確定年（地球繞太陽公轉，完成四季交替）的概念。

以平太陽連續兩次通過春分點的時間間隔，即太陽中心自西向東沿黃道從春分點到春分點所經歷的時間，又稱為太陽年，也叫回歸年（Tropical year）。

回歸年約為365又1/4 日 或 12又7/19朔望月，朔望月約為29又1/2 日。

年長不是月長的整數倍，也不是日長的整數倍；月長也不是日長的整數倍。

不同的文明，在協調年月日的時候，採用了不同的策略，也就形成了不同的曆法。

中國舊曆農曆紀年中，有閏月的一年稱為閏年。

一般年份為12個月，354或355天，閏年則為13個月，383或384天。

農曆作為陰陽曆的一種，每月的天數依照月虧而定，一年的時間以12個月為基準；為了合上地球圍繞太陽運行周期即回歸年，每隔2到4年，增加一個月，增加的這個月為閏月，因此農曆的閏年為13個月。

農曆沒有第十三月的稱謂，閏月按照曆法規則，排放在從二月到十月的中間，過後重複同一個月，重複的這個月為閏月，如四月過後的閏月稱為閏四月。

由於1回歸年為12.368個朔望月，0.368=368/1000=46/125，即125個回歸年的話正好余出46個朔望月，所以在一百二十五年中應設置四十六個閏年。

但因為這樣設閏太過複雜，經推算，7/19最接近0.368。

故一般的，在19年里中設置7個閏月，有閏月的年份全年383天或384天。

為什麼採取「十九年七閏」的方法呢？一個朔望月平均是29.5306日，一個回歸年有12.368個朔望月，0.368小數部分的漸進分數是1/2 、1/3 、3/8 、4/11 、7/19 、46/125，即每二年加一個閏月，或每三年加一個閏月，或每八年加三個閏月……經過推算，十九年加七個閏月比較合適。

因為十九個回歸年=6939.6018日，而十九個農曆年（加七個閏月後）共有235個朔望月，等於6939.6910日，這樣二者就差不多了。

下圖是採用連分數置閏的方法：

7 連分數與無理數

我們知道，無理數是指無法用分數表示的數，但是用上面所說的連分數卻可以用來近似無理數，如：

根號2可以用27/19、根號3可以用19/11去近似。

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